===== tg-toshima21_second_1_3 =====
{
  "problems": [
    {
      "statement": "和が90である連続する2つの素数の積を求めよ。",
      "start": "00:00",
      "end": "00:41",
      "answer": "2021",
      "steps": [
        {
          "start": "00:00",
          "frame": "00:09",
          "narration": "和が90の連続する素数ということで、2つの素数の和が90なので、まずは90を2で割って基準となる45を求めます。45の前後にある素数を探していきます。",
          "board_latex": "90 \\div 2 = 45"
        },
        {
          "start": "00:09",
          "frame": "00:17",
          "narration": "40以上の素数を書き出してみましょう。41、43、47と続いていきます。",
          "board_latex": "41, 43, 47"
        },
        {
          "start": "00:17",
          "frame": "00:26",
          "narration": "書き出してみると、すぐに連続する素数である43と47の和が90になることが分かります。このように目安をつけて、その少し手前から考えていくのがポイントです。",
          "board_latex": "41, 43, 47 \\quad \\text{和 } 90"
        },
        {
          "start": "00:26",
          "frame": "00:29",
          "narration": "求めたいのは、この2つの素数の積なので、43 × 47 を計算します。",
          "board_latex": "43 \\times 47 ="
        },
        {
          "start": "00:29",
          "frame": "00:41",
          "narration": "筆算で計算すると、301と172で、答えは2021になります。2021年の入試問題ですね。",
          "board_latex": "43 \\times 47 = 2021"
        }
      ],
      "key_takeaways": [
        {
          "point": "和が一定である2つの連続する数を探す際、和を2で割った平均値を基準（目安）にして、その前後の数を探索する",
          "timestamp": "00:00"
        }
      ]
    }
  ]
}

===== tg-toshima15_1_4 =====
{
  "problems": [
    {
      "statement": "$\\frac{7}{9} = \\frac{1}{\\text{ア}} + \\frac{1}{\\text{イ}} + \\frac{1}{\\text{ウ}}$ を満たす $1$ 桁の正の整数 $\\text{ア}, \\text{イ}, \\text{ウ}$ (ただし $\\text{ア} < \\text{イ} < \\text{ウ}$) の組を求めよ。",
      "start": "00:00",
      "end": "02:04",
      "answer": "(\\text{ア}, \\text{イ}, \\text{ウ}) = (2, 6, 9)",
      "steps": [
        {
          "start": "00:00",
          "frame": "00:24",
          "narration": "まず条件は、ア、イ、ウが順番に、右に行けばこの数値が大きくなっていく。ということは、分数全体で見ると、分母が大きくなるにつれて値は小さくなるので、今度は逆に左側（ア分の1）が一番大きくなります。",
          "board_latex": "\\frac{7}{9} = \\frac{1}{\\text{ア}} + \\frac{1}{\\text{イ}} + \\frac{1}{\\text{ウ}}"
        },
        {
          "start": "00:25",
          "frame": "00:52",
          "narration": "その上で、9分の7を「9分の約数」3つの和で表せないかをまず考えてみましょう。9の約数は1, 3, 9です。この中から異なる3つの約数を選んで和を7にできるかというと、どう頑張ってもできません。したがって、このアプローチは失敗です。",
          "board_latex": "\\frac{7}{9} = \\frac{\\text{約数}}{9} + \\frac{\\text{約数}}{9} + \\frac{\\text{約数}}{9}"
        },
        {
          "start": "00:53",
          "frame": "01:21",
          "narration": "ではどうするかというと、一番大きな項であるア分の1を引いて残りを考えていきます。アをできるだけ小さく（分数を大きく）したいので、ア＝1とすると1分の1で元の数より大きくなってしまいます。そこでア＝2として、2分の1を引いてみましょう。残りのイ分の1足すウ分の1がどうなるかを計算すると、18分の14から9を引いて18分の5になります。",
          "board_latex": "\\frac{7}{9} - \\frac{1}{2} = \\frac{14-9}{18} = \\frac{5}{18} = \\frac{1}{\\text{イ}} + \\frac{1}{\\text{ウ}}"
        },
        {
          "start": "01:22",
          "frame": "01:49",
          "narration": "ここで、18分の5を「18分の約数」2つの和で表せないかを考えます。18の約数は1, 2, 3, 6, 9, 18です。この中から和が5になる2つの約数を探すと、2と3が見つかります。これらを18分の2、18分の3とすると、約分して9分の1と6分の1になります。分母は小さい順に6と9になります。",
          "board_latex": "\\frac{5}{18} = \\frac{\\text{約数}}{18} + \\frac{\\text{約数}}{18}"
        },
        {
          "start": "01:50",
          "frame": "02:03",
          "narration": "したがって、ア、イ、ウの答えは順番に2、6、9となります。これは問題文の条件である「1桁の整数」も満たしているので、これで決定です。",
          "board_latex": "(\\text{ア}, \\text{イ}, \\text{ウ}) = (2, 6, 9)"
        }
      ],
      "key_takeaways": [
        {
          "point": "単位分数の和への分解では、大小関係から最大の項（分母が最小の項）の候補を絞り込み、実際に引いて残りを評価する手法が有効である。",
          "timestamp": "00:53"
        },
        {
          "point": "分数 $\\frac{b}{a}$ を単位分数の和に分解する際、分母 $a$ の約数のうち、和が分子 $b$（またはその倍数）になる組み合わせを探す「約数注目法」が強力である。",
          "timestamp": "01:22"
        }
      ]
    }
  ]
}

===== tg-toshima23_1_2 =====
{
  "problems": [
    {
      "statement": "$\\frac{B}{A} < 1$ となる分数 $\\frac{B}{A}$ に、$\\frac{46}{5}$ と $\\frac{161}{4}$ をそれぞれ掛けても整数となるような分数 $\\frac{B}{A}$ を求めよ。",
      "start": "00:00",
      "end": "02:21",
      "answer": "\\frac{20}{23}",
      "steps": [
        {
          "start": "00:00",
          "frame": "00:07",
          "narration": "求める分数を $\\frac{B}{A}$ と置きます。これは 1 より小さい分数です。",
          "board_latex": "\\frac{B}{A} < 1"
        },
        {
          "start": "00:08",
          "frame": "00:17",
          "narration": "この $\\frac{B}{A}$ に $\\frac{46}{5}$ を掛けたものが整数になるので、$\\frac{\\text{整数}}{1}$ と表せます。",
          "board_latex": "\\frac{B}{A} \\times \\frac{46}{5} = \\frac{\\text{整数}}{1}"
        },
        {
          "start": "00:17",
          "frame": "00:25",
          "narration": "同じく、$\\frac{B}{A}$ に $\\frac{161}{4}$ を掛けたものも整数になるので、$\\frac{\\text{整数}}{1}$ となります。",
          "board_latex": "\\frac{B}{A} \\times \\frac{161}{4} = \\frac{\\text{整数}}{1}"
        },
        {
          "start": "00:25",
          "frame": "00:38",
          "narration": "まず分子の $B$ について考えます。$\\frac{B}{A} \\times \\frac{46}{5}$ が整数になるためには、分母の 5 が約分されて 1 にならなければいけません。つまり、分子の $B$ は 5 の倍数である必要があります。",
          "board_latex": "B \\div 5 \\implies 5 \\text{の倍数}"
        },
        {
          "start": "00:38",
          "frame": "00:45",
          "narration": "同様に、$\\frac{B}{A} \\times \\frac{161}{4}$ において、分母の 4 が約分されて 1 になる必要があるので、$B$ は 4 の倍数でなければなりません。",
          "board_latex": "B \\div 4 \\implies 4 \\text{の倍数}"
        },
        {
          "start": "00:45",
          "frame": "00:52",
          "narration": "したがって、$B$ は 4 と 5 の両方の倍数、つまり公倍数である必要があります。",
          "board_latex": "B \\implies 4, 5 \\text{の公倍数}"
        },
        {
          "start": "00:52",
          "frame": "01:07",
          "narration": "次に分母の $A$ について考えます。$\\frac{B}{A} \\times \\frac{46}{5}$ が整数になるためには、分母の $A$ が分子の 46 と約分されて 1 にならなければいけません。これは、$A$ が 46 の約数であることを意味します。",
          "board_latex": "46 \\div A \\implies A \\text{は} 46 \\text{の約数}"
        },
        {
          "start": "01:07",
          "frame": "01:20",
          "narration": "同様に、$\\frac{B}{A} \\times \\frac{161}{4}$ において、分母の $A$ が 161 と約分されて 1 になる必要があるので、$A$ は 161 の約数でなければなりません。したがって、$A$ は 46 と 161 の公約数となります。",
          "board_latex": "A \\implies 46, 161 \\text{の公約数}"
        },
        {
          "start": "01:20",
          "frame": "01:34",
          "narration": "ここで、分子 $B$ には最小公倍数、分母 $A$ には最大公約数を考えてみましょう。4 と 5 の最小公倍数は 20、46 と 161 の最大公約数は 23 となります。",
          "board_latex": "B \\implies 4, 5 \\text{の公倍数} = 20 \\\\ A \\implies 46, 161 \\text{の公約数} = 23"
        },
        {
          "start": "01:34",
          "frame": "01:48",
          "narration": "条件 $\\frac{B}{A} < 1$ を満たすものを探すと、$\\frac{20}{23}$ は 1 より小さいので、これが答えの候補となります。",
          "board_latex": "\\frac{20}{23}"
        },
        {
          "start": "01:48",
          "frame": "02:21",
          "narration": "他に可能性がないか確認しましょう。$B$ は 20 の倍数（20, 40, 60...）、$A$ は 23 の約数（1, 23）です。もし $A = 1$ ならば $\\frac{20}{1} = 20 > 1$ となり不適です。また、$A = 23$ のとき、$B = 40$ 以上にすると $\\frac{40}{23} > 1$ となり不適です。したがって、条件を満たす分数は $\\frac{20}{23}$ のみとなります。",
          "board_latex": "20 \\text{の倍数} = 20, 40, 60 \\\\ 23 \\text{の約数} = 1, 23"
        }
      ],
      "key_takeaways": [
        {
          "point": "分数に特定の分数を掛けて整数にする条件 → 求める分数の分子は相手の分母の公倍数、分母は相手の分子の公約数となる",
          "timestamp": "00:25"
        }
      ]
    }
  ]
}

===== tg-toshima22_1_2 =====
{
  "problems": [
    {
      "statement": "1から216までの整数のうち、216と互いに素であるものの個数を求めよ。",
      "start": "00:00",
      "end": "01:06",
      "answer": "72\\text{個}",
      "steps": [
        {
          "start": "00:00",
          "frame": "00:11",
          "narration": "はい、これ、要はですね、216と何かが、これ互いに素であればいいってことですね。まあ、1以外に公約数を持たない。じゃあ何ですかということ。",
          "board_latex": "216, \\quad \\square \\quad \\longrightarrow \\text{互いに素}"
        },
        {
          "start": "00:12",
          "frame": "00:25",
          "narration": "216の正体を明らかにしましょう。つまり素因数分解です。2で割っていくと、108、54、27、そして3で割って9、3となります。",
          "board_latex": "\\begin{array}{r|r} 2 & 216 \\\\ \\hline 2 & 108 \\\\ \\hline 2 & 54 \\\\ \\hline 2 & 27 \\\\ \\hline 3 & 9 \\\\ \\hline & 3 \\end{array}"
        },
        {
          "start": "00:26",
          "frame": "00:35",
          "narration": "つまりこれ、2と3でできているやつなんですね。2が3つと、3が3つ。つまりどういうことかっていうと、求める数は2で割れちゃダメ、3で割れちゃダメということです。",
          "board_latex": "2 \\times 2 \\times 2, \\quad 3 \\times 3 \\times 3 \\\\ \\square \\neq 2 \\text{の倍数}, \\quad \\square \\neq 3 \\text{の倍数}"
        },
        {
          "start": "00:36",
          "frame": "00:50",
          "narration": "1から216のうち、2で割れちゃダメ、3で割れちゃダメ。1から216のうち、2の倍数、3の倍数の外側が欲しいよねということです。",
          "board_latex": "1 \\sim 216"
        },
        {
          "start": "00:50",
          "frame": "01:06",
          "narration": "はい、216っていうのは2でも3でも割れて、かつ2と3は互いに素なので、216かける、2個に1個外なので1/2、3個に2個外なので2/3をかけて、72個と決まるわけです。",
          "board_latex": "216 \\times \\frac{1}{2} \\times \\frac{2}{3} = 72\\text{個}"
        }
      ],
      "key_takeaways": [
        {
          "point": "ある数 $N$ と互いに素な数の個数を求めるには、素因数分解を行い、各素因数 $p$ に対して全体からその倍数を除いた割合 $(1 - 1/p)$ を掛け合わせることで簡潔に計算できる。",
          "timestamp": "00:50"
        }
      ]
    }
  ]
}